Qué hace que un problema matemático merezca años de esfuerzo

¿Cómo deciden los matemáticos qué preguntas son lo suficientemente interesantes como para merecer años de esfuerzo y dedicación? A veces depende de la reputación de quien las formula. Así ocurrió con un pequeño problema que empezó como una curiosidad pero que, con los años, ha resultado estar profundamente conectado con varias áreas de las matemáticas.

Se trata de la conjetura de Atiyah, que lleva el nombre del matemático británico Michael Atiyah (1929-2019), uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX.Entre sus resultados más célebres, que le valieron la Medalla Fields y el Premio Abel, los máximos honores de las matemáticas, está el teorema del índice de Atiyah-Singer, que tiende un puente entre el análisis y la topología.

En un episodio mucho menos conocido, Atiyah planteó, casi de pasada, una pregunta sobre ciertos números asociados a espacios geométricos, los llamados números de Betti L².A lo largo de las décadas, los intentos de responderla han dado lugar a nuevas técnicas matemáticas que han resultado fructíferas mucho más allá del problema original.

Ocurre algo parecido con el famoso caso del último teorema de Fermat . Empezó como una simple afirmación sobre las soluciones en números enteros de la ecuación aⁿ + bⁿ = cⁿ. Hacia 1637, Pierre de Fermat escribió una nota en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto, junto a un problema sobre cómo descomponer un cuadrado en suma de dos cuadrados, en la que aseguraba que no existen soluciones para exponentes mayores que dos, y afirmó tener una demostración que no cabía en el margen del libro.Sin embargo, hicieron falta mundos enteros de teoría matemática, los de las curvas elípticas y las formas modulares, para que Andrew Wiles lograra finalmente demostrarlo en 1995.Los números de BettiEn el caso de Atiyah, la pregunta surgió mientras sentaba las bases de una nueva teoría.

El teorema del índice, en su formulación original, se aplica a ciertos espacios geométricos, llamados variedades compactas, como una circunferencia o una esfera, que son finitos. La idea de Atiyah era extender el teorema a espacios infinitos como el plano, denominados espacios no compactos.

Para ello, inició la teoría de los números de Betti L², análogos analíticos de los números de Betti clásicos de un espacio geométrico.Todo espacio geométrico, como una esfera o un toro, tiene asociada una lista infinita de números de Betti que, a grandes rasgos, cuentan sus agujeros.

El primer número de Betti de una forma cuenta sus agujeros unidimensionales; el segundo, sus agujeros bidimensionales, y así sucesivamente. Un agujero unidimensional es aquel que se puede rodear con un lazo, de modo que el lazo no puede encogerse hasta un punto.

Por eso, el primer número de Betti de una circunferencia es 1: la propia circunferencia rodea el agujero del centro. En cambio, el primer número de Betti de una esfera (como la superficie de un balón) es 0, porque cualquier lazo dibujado sobre ella puede encogerse hasta un punto deslizándolo por la superficie.

Un agujero bidimensional es una cavidad que una superficie puede encerrar del mismo modo. Así, el segundo número de Betti de la esfera es 1, porque el hueco que encierra cuenta como un agujero bidimensional.Los números de Betti funcionan bien para espacios compactos, pero a menudo se quedan cortos para los no compactos.

Los espacios no compactos en general son demasiado salvajes para estudiarlos de forma sistemática, así que Atiyah se centró en una clase especial: los que son muy simétricos. Para ellos definió los números de Betti L². Cada uno es bastante más difícil de definir y de calcular que su homólogo clásico.Los números de Betti L² no cuentan agujeros.

De hecho, algunos de los espacios más estudiados, como el plano hiperbólico, no tienen ningún agujero. Pensemos en un espacio muy simétrico como un patrón infinito formado por copias de una misma baldosa. A grandes rasgos, sus números de Betti L² reflejan lo rápido que crece el espacio a medida que uno se aleja hacia el infinito.

Precisar esta idea requiere herramientas del análisis. Y mientras que los números de Betti clásicos son siempre números enteros, puesto que provienen de contar, no hay ninguna razón evidente por la que los nuevos deban serlo.Esto llevó a Atiyah a plantear el siguiente problema al final de su artículo de 1976 : «A priori, los [números de Betti L²] son reales.

Dar ejemplos en los que no sean números enteros». La formulación sugiere que Atiyah esperaba que tales ejemplos existieran. Sin embargo, es la predicción opuesta, que los números de Betti L² son siempre números enteros, la que ha acabado conociéndose como la conjetura de Atiyah.En esta formulación original, la conjetura de Atiyah es falsa.

De hecho, se han construido muchos ejemplos concretos que la contradicen, como los de Tim Austin , Łukasz Grabowski o Mikaël Pichot , Thomas Schick y Andrzej Zuk . Todos tienen algo en común: sus simetrías implican grandes cantidades de lo que los matemáticos llaman «torsión».

Una simetría tiene torsión cuando, al repetirla un número finito de veces, todo vuelve a su posición inicial, como ocurre con un giro de un cuarto de vuelta. Los matemáticos suelen considerar patológicos los espacios con tanta torsión, así que estos contraejemplos no resultan del todo sorprendentes, y desde luego no son el tipo de espacio que Atiyah tenía en mente.

Por eso se han preguntado si la conjetura se cumple una vez excluidos estos ejemplos con mucha torsión. En su forma moderna, la conjetura predice que, en ausencia de torsión, los números de Betti L² son siempre números enteros.Por ahora nadie sabe si esto es cierto, aunque se ha avanzado mucho en la cuestión.

En 1993, Peter Linnell demostró que la conjetura de Atiyah equivale a otro enunciado algebraico de un área llamada teoría de anillos; es uno de los muchos ejemplos en los que dos campos dispares (aquí, la geometría y el álgebra) resultan estar profundamente relacionados.Teoría de anillosCon este enfoque algebraico, Andrei Jaikin Zapirain y su grupo de investigación en el ICMAT han logrado grandes avances en el problema.

En 2020, junto a su antiguo doctorando Diego López Álvarez, Jaikin Zapirain demostró que la conjetura de Atiyah se cumple para una clase muy amplia de espacios, lo que amplió con creces el alcance de lo que se sabía hasta entonces. A partir de este resultado, Jaikin Zapirain y Marco Linton, otro matemático del ICMAT, resolvieron la conjetura de Baumslag , planteada hace 50 años, sobre la coherencia de los grupos con un solo relator.

Se trataba de un problema puramente algebraico de teoría de grupos, así que fue una sorpresa que la conjetura de Atiyah resultara tan crucial para resolverlo.Con los años, la conjetura de Atiyah ha revelado conexiones profundas con la teoría de anillos, la teoría de grupos y otras áreas.

Lo que empezó como una curiosidad, tomada en consideración quizá por el renombre de la persona que la había planteado, se ha convertido, gracias al trabajo de muchos matemáticos, en un punto de encuentro de áreas que antes parecían ajenas. Tal vez esa sea una de las múltiples respuestas a la pregunta de qué problemas merecen el esfuerzo: los que acaban llevando a lugares que su autor nunca imaginó.Entre teoremas es una sección de matemáticas para todos los públicos impulsada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM).Samuel Fisher Investigador posdoctoral del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).Ágata Timón Divulgadora de las matemáticas del CSIC en el ICMAT, donde coordina la Unidad de Cultura Matemática.